立体図形の模型作り

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zoom RSS 4.4 大二十面体 The great icosahedron

<<   作成日時 : 2010/09/21 18:41   >>

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星形正多面体=ケプラー・ポアンソの多面体の製作第4回目は,大二十面体です。

立体図形の模型作りはこれまでに,

1.プラトンの立体=正多面体 5種類
2.アルキメデスの立体=準正多面体 13種類
3.カタランの立体=アルキメデス立体の双対 13種類

に続いて,第4回目のシリーズは
4.ケプラー・ポアンソの多面体
で,その
第1回は,4.1 星形小十二面体
第2回は,4.2 星形大十二面体
第3回は,4.3 大十二面体
でした。

また,以上の立体については,別のホームページ=GeomZomeにまとめて集めて,一括して見られるようにしてありますので,ぜひそちらのほうも見てやってください。
展開図はそちらでもダウンロードできます。

今回は,大二十面体です。
4種類あるうちの,第4作目です。

今回の,大二十面体は正三角形が20個から出来ているので,正二十面体とよく似ています。

とりあえず画像をどうぞ。
大きさが分かるように,CDのジャケツを並べました。
大二十面体


正三角形が互いに交わりあっているため,正三角形の位置関係が分かりにくい感じがします。
正三角形を色分けしてありますので,単一色モデルよりは,正三角形を認識しやすいと思います。
十二個の頂点に正三角形が5個集まりますが,正二十面体と違って星形5辺形状に集まっています。

5色モデルです。
隣り合った正三角形は互いに色が異なるように塗ってあります。
それでも5色で十分です。

正二十面体は正五角形が頂点で5個ずつ集まります。
このため,正二十面体は記号[3,5]と書かれます。

それにたいして,大二十面体は各頂点に正三角形が5個ずつ集まっています。
普通に集まるのではなく,頂点を上から見ると,星形正五角形の状態に集まっています。
このため大二十面体は,記号[3, 5/2]と表されます。
(なお,星形大十二面体は[5/2, 3]でしたから,5/2 と 3が入れ替わっています。)

3つの方向から見た写真をどうぞ。

大二十面体2 大二十面体3 大二十面体4

展開図をアップしておきます。---> <大二十面体の展開図ダウンロード>

ここでの紙模型,つまり面模型としての構成要素は3種類の三角形です。
対称性を考えると2種類です。
正三角形同士の交わり方が大十二面体ほど簡単ではありません。
それもあって,展開図に黄金三角形は現れません。

図をどうぞ。
大二十面体

正三角形の辺を黄金分割することができれば,三角形が図のように得られます。

写真だけでは,図形の形状がわかりにくいので,
分かりやすいように,全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにしました。
ぜひ動かしてみてください。

下の図にリンクしてありますので,クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をすると,
Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して,インストールが終了すると,見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて,マウスの右ボタンを押して動かすと,マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると,図が回転して立体の形がよくわかります。

まずは,大二十面体の枠の部分の正二十面体に注目して眺めてください。

大二十面体を動かす1 <大二十面体を動かす>

次は,正二十面体から(広い意味での)「星形化」(stellating)をする方法の外観図です。
芯の正二十面体における正三角形の面を延長して,大きな正三角形を作る,という意味での「星形化」です。
芯の正二十面体を赤く塗ってあります。
中がよく見えるように,一つの頂点周りの5つの正三角形しか示してありません。

大二十面体を動かす2 <大二十面体(芯の正十二面体の星形化)を 動かす>

さて,ケプラー・ポアンソの立体はこれで終了です。
次は,いくつかの立方体の複合体を作っていきたいと思います。


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22.5°
78.75°
78.75°
二等辺三角形*60
50.625°
50.625°
78.75°
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4.4 大二十面体 The great ...
2012/05/10 07:30

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