立体図形の模型作り

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zoom RSS 4.2 星形大十二面体 The great stellated dodecahedron

<<   作成日時 : 2010/07/11 18:48   >>

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星形正多面体=ケプラー・ポアンソの多面体の製作第2回目は,星形大十二面体です。

立体図形の模型作りはこれまでに,

1.プラトンの立体=正多面体 5種類
2.アルキメデスの立体=準正多面体 13種類
3.カタランの立体=アルキメデス立体の双対 13種類

に続いて,前回から
4.ケプラー・ポアンソの多面体
を作り始めました。
前回はその第1回として,星形小十二面体を作りました。
今回は,星形大十二面体です。
4種類あるうちの,第2作目です。

名称について,以前にご指摘を受けたのですが,ここでの「星形…面体」の名称は,一松信先生の著作
一松信,「正多面体を解く」(東海大学出版会)
に倣ったものです。
ウィキペディアでは,「小星型十二面体」,「大星型十二面体」などのように,「大」,「小」を頭につけ,さらに「星形」ではなく「星型」という用語になっています。
つまり,専門家の間でも統一がされていないということなのでしょう。
ということで,用語はお許しのほどお願いいたします。

また,以上の31種類については,別のホームページ=GeomZomeにまとめて集めて,一括して見られるようにしてありますので,ぜひそちらのほうも見てやってください。

今回の,星形大十二面体では,
星形正五角形=五芒星(ごぼうせい)=Pentagramが,一つの頂点の周りに3個ずつ集まっています。
通常の正十二面体は正五角形が一つの頂点の周りに3個集まっているので[5,3]という記号であらわされますが,
星形大十二面体は記号[5/2,3]という記号になります。

まずは画像を見てください。

星形大十二面体1

頂点の数は20個です。
6色モデルです。
12個の面のうち,向かい合った平行な星形正五角形の面を同じ色にして,全部で6色です。

次の画像は,3つの対称軸方向からみた画像です。

星形大十二面体2 星形大十二面体3 星形大十二面体4

展開図をアップしておきます。---> <星形大十二面体の展開図ダウンロード>

模型において外に現れているのは,星形正五角形の角(つの)の部分のみです。
展開図として描かれているのはその角(つの)の部分の二等辺三角形です。
すべて同じ形と大きさの二等辺三角形で,辺の比が黄金比 1 : 1.62 になっています。
黄金三角形と呼ばれているものです。
星型小十二面体と同じ三角形です。

星形大十二面体


写真だけでは,図形の形状がわかりにくいので,
分かりやすいように,全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにしました。
ぜひ動かしてみてください。

下の図にリンクしてありますので,クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をしていただくと,
Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して,インストールが終了しますと,見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて,マウスの右ボタンを押して動かすと,マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると,図が回転して立体の形がよくわかります。

まずは,星形大十二面体の芯の部分にある正十二面体を眺めてください。
芯が赤く見えるように,一部分三角形を透明にしてあります。

星形大十二面体を動かす1 <星形大十二面体 (芯の正十二面体の星形化) を動かす>

次は,正二十面体から星形化をする方法の外観図です。
正二十面体に含まれる3つの正五角形の面を延長して三角ピラミッドを作ると,一つの角が出来上がります。
言葉でうまく表現できないので,次の図を見てください。

星形大十二面体を動かす2 <正二十面体から星形化 動かす>

次は,枠の正十二面体から星形大十二面体ができる様子を表した絵です。
この構成方法は,「面取り」と呼ばれるものです。
(実は,「星形化」と「面取り」という用語は,ときに逆に用いられたりするので,ちょっと混乱するときがあります。)

星形大十二面体を動かす3 <正十二面体の構成「面取り」 動かす>


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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
はじめまして。
最近多面体に興味をもって,貴ブログにたどり着きました。とてもきれいな模型と,CGでとても分かりやすいくて勉強になります。大二十面体も楽しみにしてます。
Polyhedron
2010/07/21 00:21
Polyhedron様
コメントありがとうございます。
星形立体は,狭い部品が多く,山折り・谷折りが混在し,複雑です。そして,何より6色模型にしたため,展開図での色の塗り分けが結構しんどかったです。
楽しんでもらえば何よりです。また次,作りますのでよろしくお願いします。
アントン
2010/07/21 22:34

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