立体図形の模型作り

アクセスカウンタ

zoom RSS 13. 五角六十面体 The Pentagonal hexecontahedron

<<   作成日時 : 2010/05/26 22:44   >>

なるほど(納得、参考になった、ヘー) ブログ気持玉 10 / トラックバック 0 / コメント 6

アルキメデスの立体(=準正多面体) の双対立体=カタランの立体,第13回目の作品です。
カタランの立体の最終です。
全部で13種類なので,完結です!


今回は,五角六十面体(五角六十面体)=The Pentagonal hexecontahedronです。

これはアルキメデスの立体のうち,<捩れ十二面体(変形十二面体)>[3,3,3,3,5]の双対です。

捩れ十二面体は正五角形が12個と正三角形が80個,合計92個の面でできています。そのうちとなりあった1つの正五角形の頂点まわりで,正五角形→正三角形→正三角形→正三角形→正三角形(→正五角形に戻る)の順で中心を結んでやると,合同な五角形が60個できます。
このような感じの立体が今回の五角六十面体です。

まず写真をご覧ください。

五角六十面体1

3つの向きから見た図も掲載しておきます。

五角六十面体2 五角六十面体3 五角六十面体4

五角形が五個付いて正五角形のように並んだものが,ちょうど桜の花のように見えます。
桜の花が,ちょうど12個,正十二面体のように結合している状態を見てやると構造がよく見えます。
正十二面体のように鏡映対称性が失われていて,捩れながら結合しています。

いつものように展開図をアップしておきます。---> <五角六十面体の展開図ダウンロード>

面の五角形の形状を示します。
五角六十面体

この形状の計算は数値で示してあります。

ここまでの12個のアルキメデス立体の双対(カタランの立体)については,
面の形状を厳密な数値で与えてきましたが,最後になって近似数値になってしましました。
厳密な数値はちょっと掲載不可能なほど長大な式になってしまいました。
私のパソコンでは,Mathematicaソフトウェアの解は,1つの数値に対して何ページにもなってしまいました。
Simplify命令もだめでした。
最終の段階で解く方程式は,1次方程式にもかかわらず厳密値の計算は終わりませんでした。
数値計算で勘弁していただきます。

分かりやすいように,全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにすることにトライしましたので,ぜひ動かしてみてください。

下の図にリンクしてありますので,クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をしていただくと,
Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して,インストールが終了しますと,見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて,マウスの右ボタンを押して動かすと,マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると,図が回転して立体の形がよくわかります。

<五角六十面体を動かす>

五角六十面体を動かす

テーマ

関連テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ
気持玉数 : 10
なるほど(納得、参考になった、ヘー) なるほど(納得、参考になった、ヘー) なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた 驚いた 驚いた
面白い 面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(6件)

内 容 ニックネーム/日時
加藤といいます。
展開図を印刷して、組み立ててみたのですが、この五角六十面体は「右手系」になるのでしょうか?それとも「左手系」になるのでしょうか?
実は、双対の捩れ十二面体の展開図の方も組み立ててみたのですが、五角六十面体と比べてみると頂点と面の関係が一致せず、混乱しております。
一松信先生の「正多面体を解く」を参照すると、捩れ十二面体の方は「左手系」である気がします。すると、この五角六十面体の方は「右手系」という認識でよろしいのでしょうか?
また、厚かましい御願いで申し訳有りませんが、五角六十面体の「逆手」の展開図もアップして頂けましたら幸いです。
加藤
2014/03/01 01:31
加藤様
(1)ご指摘の通り,「捩れ十二面体」とその双対「五角六十面体」の左右の鏡像体が逆だったようです。
(どれを左手系,どれを右手系というかということは,どうも定説がないようです。「正多面体を解く」(1983)の図4.19をみても曖昧に使っているように感じます。)
ブログの「捩れ十二面体」は,図4.19の右側の図に対応し,双対「五角六十面体」は図4.19の左側の図に対する双対です。
したがって,加藤様のご指摘通りです。混乱の元を作ってしまったようで,申し訳ありません。
(2)その辺を組み入れた内容の記事はいずれアップしたいと思います。そのとき,鏡像体別に展開図を掲載したいです。
とりあえず,左右の入れ替えは,展開図の裏面を使うことで対応していただきたいです。
(3)ブログで公開した,「捩れ立方体」と「五角二十四面体」も同じように左右が逆でした。
anton
2014/03/01 16:14
御返答、ありがとうございます。
ご指摘の通り「正多面体を解く」では、「右手系」「左手系」の2通りが有る事自体は書かれているのですが、図4.19のどっちがどっちなのかが明記されていないので、悩みました。
図の位置関係とタイトルより、左図が「右手系」で、右図が「左手系」だろうと、エイヤーで推測したのですが、間違いの可能性も無きにしもあらず、です。
実は、以前遊んだ http://dame.dyndns.org/misc/polyhedra/ を思い出して、今確認した所、組み立てた捩れ十二面体が「s13R: Snub dodeca-hedron(R) 変形12面体(R)」というFlashモデルと一致する事に気付きました。
この(R)が「右手系」を意味するのならば、小生の推測は間違いになります。残念な事に、上記URLには、五角六十面体のFlashモデルは無いので、こちらが(L)なのか(R)なのかは判明しませんでした。
さらにややこしい事ですが、Wikipediaを見ますと、こちらは CW(時計回り)、CCW(反時計回り)という表現になっているので、更に混乱しています。
どうも、組み立てた捩れ十二面体モデル=s13RのFlashモデル図=WikipediaのCW図、になっている様ですが、もう何が何だか、です。
鏡像体の展開図につきましては、よろしくお願い致します。可能ならば、双対の多面体どうしで同じ色か近い色にして頂ければ、双対関係が分かりやすくなるかもしれません。
加藤
2014/03/01 21:55
ああ、すみません。
右手系どうしの捩れ十二面体と五角六十面体、左手系どうしの捩れ十二面体と五角六十面体、で色を合わせる、という意味です。
加藤
2014/03/01 22:02
五角形の辺の比、xについての方程式31x^6-122x^5+177x^4-128x^3+51x^2-11x+1=0の根(x≈1.74)らしいですよ。
面の辺の比率
2015/01/17 16:56
辺の比の比率の方程式ありがとうございました。
当方「正多面体を解く」(一松信著)115ページの連立方程式を用いましたので、直接ご指摘の式は用いておりませんが、同等の式になるはずでしょうね。
今度、じっくり確認してみたいです。
ありがとうございました。
anton
2015/01/17 17:56

コメントする help

ニックネーム
本 文
13. 五角六十面体 The Pentagonal hexecontahedron 立体図形の模型作り/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる